问题描述
在高中学到点积是一个向量往另一个向量的投影,如果知道两个向量的坐标值(x1,y1)(x2,y2),那么可以简单快捷的算出这个点积的值是多少,即x1x2+y1y2。那么为什么是这样相乘呐?
#####知识回顾
1.基:在二维平面上就是x y轴的单位向量
2.基的变化导致的向量a的变化:当基不再是固定在x轴和y轴的单位向量(假设x轴的基向量变化为了[1,1]),
那么对应的a向量就因为他基的变化而跟着变化
3.点积存在对称性,不在乎谁往谁投影
#####破解点积
我们都知道点积的几何意义是什么,就是投影再×另一个向量的值。那么为什么在坐标系下表示为对应坐标轴相乘再相加呐,其实我们可以理解为二维向量需要 变化(及其重要)为一维 且是线性的,从前面的知识回顾我们知道基的变化牵引了向量的变化(二维->二维),那么在不同维度(3->2 ,2->1)之间的变换又是不是基的变化就可以了呐。
事实上是的。
现在我们假设是a(单位向量) ,b两个向量进行投影。他们的坐标分别为a(x1,y1) b(x2,y2)。
按照投影思想我们实际要做的就是将b变化到a去,再往深处讨论:这里的变化实际上就是从最初的基(x轴y轴方向的单位向量)变化为以a为基进行计算。那么如何表示以a为参照系的基呐。
是不是就是 最初的基->a的基
等价于:
第一种解释:将x轴和y轴往a向量进行转化,可能这种转化不太好构建出来,我们现在换一种思想,是不是就是a往x轴和y轴投影的逆过程。
第二种解释:由于构建投影具有对称性不在乎谁往谁投影,那么实际上变化后的基就是a往x轴和y轴的投影
由于是单位向量a(x1,y1)那么这个基就是(x1,y1)那么只需要将b作为列向量去左乘这个基(或者称为转化矩阵)那么最终就是x1y1+x2y2,是不是很神奇。
那又有小伙伴问了如果不是单位向量呐,其实是不是都无所谓因为方向还是一个方向嘛,你最终把这个缩放因子乘上去就行了